Primfaktorzerlegung

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung wird eine natürliche Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegt, zum Beispiel ist 24 = 2*2*2*3. Ein Primfaktor muss also zwei Bedingungen erfüllen: Erstens muss ein Primfaktor eine Primzahl sein. 4 kann also kein Primfaktor sein, da sie sich weiter in 2*2 zerlegen lässt. Zweitens muss ein Primfaktor ein Teiler dieser natürlichen Zahl sein. Die Zahl muss also ohne Rest durch den Primfaktor teilbar sein.

Berechnung

Obwohl die Primfaktorzerlegung ein relativ simples Problem zu sein scheint, gibt es bisher kein Verfahren, Primfaktoren zu berechnen. Weiterhin ist man darauf angewiesen, die Primfaktorzerlegung durchzuführen, indem man die Folge der Primzahlen ausprobiert und testet, ob durch sie ohne Rest teilbar ist. Man beginnt also damit, die natürliche Zahl durch 2 zu teilen. Ist sie ohne Rest teilbar, beginnt man wieder von vorn, ansonsten versucht man es mit der nächsten Primzahl (in diesem Fall die 3). So ergibt die Primfaktorzerlegung also 30 = 2*15 = 2*3*5 oder 444 = 2*222 = 2*2*111 = 2*2*3*37. Tauchen einzelne Primfaktoren mehrfach auf, können sie durch die Darstellung als Exponenten zusammengefasst werden. Enthält eine natürliche Zahl mehr als einen Primfaktor, wird sie zusammengesetzte Zahl genannt.

Bei der Primfaktorzerlegung betrachtet man gewissermaßen die Puzzelteile, die hier für die verschiedenen Primfaktoren stehen, einer Zahl.

Bei der Primfaktorzerlegung betrachtet man gewissermaßen die Puzzelteile einer Zahl, die hier für die verschiedenen Primfaktoren stehen.

 

Sonderfälle

Die Null darf nie Primfaktor sein. Die 1 enthält als Primfaktoren eine leere Menge. Jede Primzahl enthält nur einen Primfaktor, nämlich sich selbst. Die 1 ist in der Mathematik keine Primzahl.

Anwendungen

In der Mathematik lässt sich mit Hilfe der Primfaktorzerlegung zeigen, ob eine Zahl durch die andere teilbar ist. Außerdem ist die Primfaktorzerlegung ein wichtiges Instrument bei der Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Mit Hilfe des ersteren können Brüche gekürzt werden, das letztere wird bei der Addition und Subtraktion von Brüchen verwendet, um den kleinsten Hauptnenner zu ermitteln.

Kryptographie

Die Tatsache, dass es kein Verfahren gibt, Primfaktoren zu berechnen, macht Primzahlen zu einen beliebten Instrument der Verschlüsselung von Daten. Die Zerlegung von 1000-stelligen Zahlen in Primfaktoren überfordert auch heute noch die Kapazität eines jeden Rechners.

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